Solow-Modell

Das Solow-Modell dient im Rahmen der Makroökonomie als eine mögliche und beispielhafte Veranschaulichung für das Wirtschaftswachstum. Es wurde 1956 von Robert Merton Solow und Trevor Swan entwickelt. Es sagt aus, dass sich die Wachstumsraten der Länder langfristig gleich Null sind, weil sie sich zu einem Punkt bewegen, indem die Sparquote dem Werteverzehr durch Abschreibung zuzüglich dem Bevölkerungswachstum und der Rate des technischen Fortschritts enstpricht. Dieser Punkt wird als Steady State bezeichnet.

Annahme

Das Modell geht von vollkommenem Wettbewerb auf allen Märkten aus. Es betrachtet dabei Gütermärkte, als auch die Faktormärkte für Arbeit und Kapital.

Die Produktionsfunktion entspricht einer neoklassischen Cobb-Douglas-Funktion und unterliegt daher:

• Linearhomogenität, das bedeutet $zY = F(zK,zL)$
• Positiven, aber abnehmenden Grenzerträgen,
• den Inada-Bedingungen, das heißt alle Produktionsfaktoren sind unverzichtbar.

Konzeption

Zugrunde liegt die aggregierte Produktionsfunktion aller Unternehmen, die zwar verschiedene Güter herstellen können, allerdings lassen sich alle Güter auf die elementaren Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital sowie den Stand des technischen Fortschritts zurückführen.

Die Produktionsfunktion beinhaltet die drei Produktionsfaktoren:

$Y = A \cdot F(K, L) = AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$

wobei $0 < \alpha < 1$.

Y = Produktion, Einkommen der Haushalte
F = Produktionsfunktion
K = Kapital
L = Arbeit
A = Technischer Fortschritt
$\alpha$ = Produktionselastizität des Kapitals

Mögliche Quellen des Wachstums sind demnach:

1. Kapitalakkumulation
2. Bevölkerungswachstum
3. technologischer Fortschritt

Faktorpreise

Nebenrechnung:
$F(K,L) = L \cdot f(k)$ $f(k) = f \cdot (\frac {K}{L})$ $\frac {dF(K,L)}{dK} = L \cdot \frac {df(k)}{dk}$ $= L \cdot f'(k) \cdot \frac {1}{L} = f'(k)$ $\frac {dF(K,L)}{dL}$ $=f(k) + L \cdot f'(k) \cdot (-1) \cdot \frac {K}{L^2}$ $= f(k) - f'(k) \cdot \frac {K}{L} = f(k) - kf'(k)$

Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn gemäß:

$\underset{K,L}{max} PF(K,L) - RK - WL$

$=> r \equiv \frac {R}{P} = \frac {\partial F(K,L)}{\partial K} = f'(k)$

$=> w \equiv \frac {W}{P} = \frac {\partial F(K,L)}{\partial L}$
$= f(k) - k \cdot f'(k)$

r bezeichnet die Grenzproduktivität
des Kapitals, w den Grenzlohnsatz.

Kapitalakkumulation

Weiterhin wird der Überlegung Rechnung getragen, dass sich das Sachkapital abnutzt. Dies wird durch die negative Variable $\delta$ beschrieben. Die Abschreibung auf Sachkapital errechnet sich demnach aus $\delta K$. Die Haushalte sparen einen Teil ihres Einkommens, statt es sofort wieder auszugeben, gemäß einer exogenen Sparquote s. Dieser ersparte Betrag des Einkommens, also sY, entspricht gleichzeitig den gesamtwirtschaftlichen Investitionen.

s = gesamtwirtschaftliche Sparquote (exogen); wobei $0 < s < 1$
$\delta$ = Abschreibungen (bzw. Verschleißrate von Sachkapital); wobei $\delta \geq 1$
I = gesamtwirtschaftliche Investitionen

$S = sY$ = Ersparnisbildung
$S = I$ = Finanzmarktgleichgewicht
$\dot K = I - \delta K$ = Kapitalstock

Der Kapitalstock entspricht den Investitionen in das zur Produktion benötigte Kapital abzüglich seines Verschleißes. Wachstum entsteht somit, wenn es zu mehr Investitionen kommt als Kapital abgeschrieben wird. Die Investitionen hängen wiederum von der exogenen Sparquote ab.

Bevölkerungsentwicklung

Das Bevölkerungswachstum wird als nicht steuerbar angesehen und wird folglich durch die exogene Variable $n$ beschrieben. Weil der Begriff der Arbeit in der volkswirtschaftlichen Sprache nur die wertmäßig erfassbare Arbeit versteht, entspricht die Bevölkerung einfach der Zahl der Beschäftigten $L$.

$n$ = Bevölkerungswachstum (exogen); wobei $n\geq 0$
$\dot L = nL$ = Bevölkerungsentwicklung (bzw. Arbeitsmarktgleichgewicht)

Technischer Fortschritt

Man kann den Stand des technischen Fortschritts vereinfachend auf 1 normieren, dann fällt er aus der weiteren Betrachtung heraus.

$A_\text{t} \equiv 1 \forall t$

Folglich kann er zunächst in der grundsätzlichen Betrachtung vernachlässigt werden. Allerdings lässt sich das Modell auch durch einen anderen Wert für A erweitern und somit realistischer gestalten. In diesem Fall gilt, dass die beschäftigten Arbeitskräfte mit einer gewissen Effizienzrate arbeiten, die durch den technischen Fortschritt determiniert wird. Es wird dabei zwischen drei Formen unterschieden: dem arbeitsvermehrenden (genannt Harrod-neutral), dem kapitalvermehrenden (genannt Solow-neutral) und dem neutralen technischen Fortschritt (genannt Hicks-neutral). Je nach Wahl ändert sich das optimale Faktoreinsatzverhältnis bei gegebenem Faktorpreisverhältnis zugunsten des durch technischen Fortschritt vermehrten Faktors. Die neoklassische Wachstumstheorie unterstellt dabei arbeitsvermehrenden, also Harrod-neutralen Fortschritt. Das bedeutet, dass die Arbeitsausstattung zunimmt und der Arbeitseinsatz nun in Effizienzeinheiten $E_\text{t} L_\text{t}$ gemessen wird. Die Effizienz der Arbeitskräfte wächst mit der exogen gegebenen Rate $g>0$. Daher wächst die Arbeit in Effizienzeinheiten mit der Rate $n + g$.

$\dot E = gE$ = Rate des technischen Fortschritts

Pro-Kopf-Größen

Um das Modell zu einer Pro-Kopf-Betrachtung zu erweitern, werden die nötigen Faktoren mit der Bevölkerungszahl dividiert. So erhält man:

$y = \frac{Y}{LE}$ ; $k={\frac {K}{LE}}$

y bezeichnet nun den Pro-Kopf-Output, sprich die Arbeitsleistung als auch den Verdienst eines einzigen Bürgers. k stellt die Kapitalintensität dar, also den Anteil jedes einzelnen Bürgers am Gesamtkapital - anders ausgedrückt: wieviel Kapital durchschnittlich jedem Bürger zur Verfügung steht.

Dynamik

Weil die Betrachtung der Wachstumsrate im Vordergrund steht, ist es unumgänglich, eine dynamische Zeitbetrachtung zu implementieren. Aus den herkömmlichen Gleichungen $\dot K$, $\dot L$ und $\dot{E}$ wird nun:

${\dot {K}}_{\text{t}}\equiv {\frac {dK_{\text{t}}}{dt}}=I_{\text{t}}-\delta K_{\text{t}}$

$\dot L_\text{t} \equiv \frac {dL_\text{t}}{d t}= L_\text{0} \cdot e^{nt} = L_\text{t}n$

$\dot E_\text{t} \equiv \frac {dE_\text{t}}{d t}= E_\text{t}g$

Die Berechnung der Pro-Kopf-Kapitalintensität in einer bestimmten Periode ergibt sich aus der ersten Ableitung des Kapitalstocks nach der Zeit:

$\dot k_\text{t} \equiv \frac {d \frac {K_\text{t}}{L_\text{t}E_\text{t}}}{dt}$

$= \frac {1}{L_\text{t}E_\text{t}} \cdot \frac {dK_\text{t}}{dt} - \frac {K_\text{t}}{L_\text{t}^2 E_\text{t}^2} \cdot \frac {dL_\text{t}}{dt} \cdot E_\text{t} - \frac {K_\text{t}}{L_\text{t}^2 E_\text{t}^2} \cdot \frac {dE_\text{t}}{dt} \cdot L_\text{t}$

Mit: ${\frac {dK_{\text{t}}}{dt}}=I_{\text{t}}-\delta K_{\text{t}}=sY-\delta K_{\text{t}}=sF(K,LE)-\delta K_{\text{t}}$ ;

und: $\frac {dL_\text{t}}{d t} = L_\text{t}n$

und: $\frac {dE_\text{t}}{d t} = E_\text{t}g$

folgt: ${\frac {1}{L_{\text{t}}E_{\text{t}}}}(sF(K,LE)-\delta K_{\text{t}})-{\frac {K_{\text{t}}}{L_{\text{t}}^{2}E_{\text{t}}^{2}}}L_{\text{t}}nE_{\text{t}}-{\frac {K_{\text{t}}}{L_{\text{t}}^{2}E_{\text{t}}^{2}}}E_{\text{t}}gL_{\text{t}}$

$= sf(k) - \delta k_\text{t} - k_\text{t}n - k_\text{t}g => \dot k_\text{t} \equiv sf(k_\text{t}) - (\delta + n + g)k_\text{t}$

In Worten: Die Pro-Kopf-Kapitalintensität in einer Periode entspricht dem Produkt aus Pro-Kopf-Sparquote und der Pro-Kopf-Produktion abzüglich den Produkten der Pro-Kopf-Kapitalintensität mit der Abschreibungsrate und dem Bevölkerungswachstum.

Ausgedrückt als Wachstumsrate:

$\hat k_\text{t} = \frac {\dot k_\text{t}}{k_\text{t}} = \frac {sf(k_\text{t})} {k_\text{t}} - (\delta + n + g)$

Die Wachstumsrate ist langfristig Null. Das bedeutet, dass ${\frac {sf(k_{\text{t}})}{k_{\text{t}}}}=(\delta +n+g)$ gelten muss. Das dazu eingesetzte optimale $k$ ist $k*$.

Ergebnisse

1. Die Wachstumsrate von $k$ ist umso größer, je kleiner $k_\text{t}$, weil die Grenz- bzw Durchschnittsproduktivitäten gegen Null konvergieren.
2. Wachstumsrate von $k$ ist Null für $k = k*$
3. Wachstumsrate von $k$ ist positiv für $k < k*$ und negativ für $k > k*$

Steady State

Im langfristigen Gleichgewicht gilt, dass die Wachstumsrate gleich Null ist. Dieses Gleichgewicht wird als Steady State bezeichnet, weil dieser Zustand stabil ist und weil hier alle modellendogenen Größen mit einer konstanten Rate wachsen, also die Sparquote, die Kapitalabschreibungen und die Bevölkerungsrate.

Änderungen der Modellgrößen

• Die Sparquote s hat einen positiven Einfluss auf die Kapitalintensität k. Steigt die Sparquote, so steigt auch die Kapitalintensität. Langfristig würde damit die Pro-Kopf-Produktion und demnach das Einkommen steigen.

$\frac {dk*}{ds} = \frac {f(k*)}{sf'(k*) - (\delta + n + g)} > 0$

Eine Erhöhung des Sparens gleicht einer Erhöhung der Investitionsausgaben, die per se ein Bestandteil des Einkommens sind.

$Y = C ( Y - T ) + \overline I + \overline G$

Die Rate des Bevölkerungswachstums hingegen hat einen negativen Einfluss auf k.

$\frac {dk*}{dn} = \frac {-(\delta + n + g)}{sf'(k*) - (\delta + n + g)} < 0$

Mit steigender Bevölkerung verteilt sich das Kapital auf mehr Köpfe und sinkt demnach im Durchschnitt.

Die Goldene Regel der Kapitalakkumulation

Das Einkommen hängt von den Investitionen, den Staatsausgaben und dem staatlichen sowie privaten Konsum ab. Der Konsum als Wohlfahrtsmaß hängt seinerseits umgekehrt von der Sparquote und den Steuern ab. Unter der Annahme autonomer Staatsausgaben, staatlichem Konsum und ausgelasteter Steuern muss es demnach eine Sparquote $s_\text{g}$ geben, die das Einkommen und damit die Wohlfahrt maximiert. Diese Quote ist nicht gleich Eins (Zur Erinnerung: s liegt zwischen Null und Eins), denn dadurch wäre die Konsumquote c bei Null (c und s ergeben addiert Eins).

Kritik

Das Modell bietet keine Erklärung für langfristiges Wachstum, aber eine für langfristige Einkommensunterschiede. Es wird weiterhin bemängelt, dass die Annahmen bezüglich der Beschäftigung, des Bevölkerungswachstums und des Sparverhaltens naiv seien.

Fazit

• Es gibt eine bestimmte Sparquote, die die gesamtgesellschaftliche Wohlfahrt, gemessen am Pro-Kopf-Konsum, maximiert.
• Alle Volkswirtschaften bewegen sich auf das gleiche Steady State zu, aber lediglich mit unterschiedlichen Wachstumsraten.
• Im Steady State wachsen alle modellendogenen Größen mit konstanter Rate.
• Das Modell bietet qualitativ plausible, aber quantitativ wenig überzeugende Resultate für
  • Einkommensunterschiede
  • Konvergenzgeschwindigkeiten.